Jak zdać maturę z matematyki?

MATURA PRÓBNA

POZIOM ROZSZERZONY.

Czas pracy: 180 minut .

Zadania rozwiązuj na kartce, po zakończeniu matury możesz sprawdzić odpowiedzi.

Aby rozpocząć wciśnij przycisk "START", aby zakończyć "SPRAWDŹ ODPOWIEDZI".

Najlepiej rozwiązać całą maturę za jednym razem, aby poczuć "klimat" prawdziwej matury :)

TWÓJ CZAS:

180:00

ZADANIE nr 1. (4 pkt.)

Rozwiąż nierówność

\[|2-x|+|2x+4| \le 7\]

ZADANIE nr 2. (5 pkt.)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania

\[ \mathrm{tg}^{3}x-3 \mathrm{tg}x+3- \mathrm{tg}^{2}x=0\]

należące do przedziału

\[\left\langle 0;\pi \right\rangle \]

ZADANIE nr 3. (3 pkt.)

Wykaż, że jeżeli

\[A=5^{5+2\sqrt3}\]

\[B=25^{2\sqrt3+3}\]

, to

\[A=25\sqrt{B}\]

ZADANIE nr 4. (5 pkt.)

Wyznacz wartości

\[a,\; b\]

\[c\]

współczynników wielomianu

\[W(x)=x^3+ax^2+bx+c\]

, wiedząc, że

\[W(2)=20\]

, reszta z dzielenia

\[W(x)\]

przez

\[x+5\]

jest równa

\[{-36}\]

, a liczba

\[{-3}\]

jest miejscem zerowym wielomianu

\[W(x)\]

ZADANIE nr 5. (5 pkt.)

O liczbach

\[a,b,c\]

wiemy, że ciąg

\[(a,b,c)\]

jest rosnącym ciągiem arytmetycznym i

\[a+b=3\]

, zaś ciąg

\[(a+2,b-1,c)\]

jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

ZADANIE nr 6. (5 pkt.)

Wyznacz wszystkie wartości parametru

\[m\]

, dla których równanie

\[x^2-mx+4=0\]

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich sześcianów jest większa od

\[4m^2-48\]

ZADANIE nr 7. (6 pkt.)

Punkt

\[A(-2;4)\]

jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego

\[ABC\]

, którego pole jest równe

\[20\]

i w którym

\[|AC|=|BC|\]

. Bok

\[BC\]

jest zawarty w prostej o równaniu

\[y=x-2\]

. Oblicz współrzędne wierzchołka

\[C\]

ZADANIE nr 8. (4 pkt.)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej

\[f(x)=a^x\]

dla

\[x\in R\]

a. Oblicz

\[a\]

b. Narysuj wykres funkcji

\[g(x)=|f(x)-3|\]

i podaj wszystkie wartości parametru

\[m\in R\]

, dla których równanie

\[g(x)=m\]

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ZADANIE nr 9. (4 pkt.)

Dwa okręgi o środkach

\[S_1\]

\[S_2\]

są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia mniejszego z tych okręgów do promienia większego jest równy

\[3-2\sqrt2.\]

ZADANIE nr 10. (4 pkt.)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w dwóch rzutach symetryczną kostką do gry suma sześcianów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez

\[9\]

ZADANIE nr 11. (5 pkt.)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość

\[k\]

. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa

\[120^\circ\]

. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.